TI Politala Matdis 1 C

KOMBINATORIAL

A.   Definisi Kombinatorial

Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.

B.   Kaidah Dasar Menghitung

·      Kaidah perkalian (rule of product)

Ø Percobaan 1: p hasil

Ø Percobaan 2: q hasil

Ø Percobaan 1 dan percobaan 2: p ´ q hasil

           ·       Kaidah penjumlahan (rule of sum)

Ø Percobaan 1 : p hasil

Ø Percobaan 2 : q hasil

Ø Percobaan 1 atau percobaan 2  : p + q hasil

          ·       Contoh 1 :

Ketua angkatan IF 2002 hanya 1 orang (pria atau wanita, tidak bias gender). Jumlah pria IF2002 = 65 orang dan jumlah wanita = 15 orang. Berapa banyak cara memilih ketua angkatan?

Penyelesaian: 65 + 15 = 80 cara.

           ·       Contoh 2 :

Dua orang perwakilan IF 2002 mendatangai Bapak Dosen untuk protes nilai ujian. Wakil yang dipilih 1 orang pria dan 1 orang wanita. Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tersebut ?

            Penyelesaian : 65 x 15 = 975 cara.

C.   Perluasan Kaidah Dasar Menghitung

Misalkan ada n percobaan, masing-masing dg P_i hasil

1. Kaidah perkalian (rule of product)

    P₁ x P2 x …x P_n hasil

2. Kaidah penjumlahan (rule of sum)

    P₁ + P₂ + … + P_n hasil

·     Contoh 3

Bit biner hanya 0 dan 1. Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika :

(a) Panjang string 5 bit

            (b) Panjang string 8 bit (= 1 byte)

Penyelesaian:

(a) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁵ = 32 buah

(b) 2⁸ = 256 buah

·     Contoh 4 :

Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang

(a) semua angkanya berbeda

(b) boleh ada angka yang berulang.

Penyelesaian:

(a)   posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1,3,5,7,9)

       posisi ribuan: 8 kemungkinan angka

       posisi ratusan: 8 kemungkinan angka

       posisi puluhan: 7 kemungkinan angka

       Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5) (8) (8) (7) = 2240 buah.

(b)  posisi satuan: 5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9);

       posisi ribuan: 9 kemungkinan angka (1 sampai 9)

       posisi ratusan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

       posisi puluhan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

       Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5) (9) (10) (10) = 4500

·       Contoh 5 :

Kata -sandi (password) system computer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak kata-sandi yang dapat dibuat ?

            Penyelesaian :

            Jumlah karakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 karakter.

            Jumlah kemungkinan kata-sandi dengan Panjang 6 karakter :

            (36) (36) (36) (36) (36) (36) = 36⁶ = 2.176.782.336

            Jumlah kemungkinan kata-sandi dengan panjang 7 karakter:

            (36) (36) (36) (36) (36) (36) (36) = 36⁷ = 78.364.164.096

            Jumlah kemungkinan kata-sandi dengan panjang 8 karakter:

            (36) (36) (36) (36) (36) (36) (36) (36) = 36⁸ = 2.821.109.907.456

            Jumlah seluruh kata-sandi (kaidah penjumlahan) adalah

            2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456 = 2.901.650.833.888 buah.

D.   Permutasi

Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian.

       Rumusnya : 

E.   Kombinasi

Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.

       Rumusnya : 

F.    Contoh Permutasi dan Kombinasi

       Dari 5 orang A, B, C, D, E akan dilakukan :

       a. Pemilihan pengurus kelas sebagai ketua dan wakil

       b. Pemilihan pengurus kelas sebanyak 2 orang

       Jawabannya :